塾生の質問から

高田高校(6年制)2年生Aちゃんからの質問がこちら。

数列 $1,2,3, … ,n$ において、異なる2つの項の積の和を求めよ$(n\ge2)$

解法を考える前にまず問題の意味を正しく読み取らなければいけません。「異なる2つの項の積の和」の部分が分かりにくいですよね。イメージしづらいときは具体的に書きだしてみることが鉄則です。$1~n$の自然数があって、そこから異なる2つの項(数)を掛けて足し合わせていくということは
$1×2+1×3+…+2×3+…+(n-1)×n$ になります。求めたい内容は見えてきましたが、これをまともに計算するわけにはいきませんから何かしらの工夫が必要です。そこで、多項式の2乗の公式
$(a+b+c+ … )^2$
$=(a^2+b^2+c^2+ … ) + 2 \textcolor{red}{(ab+ac+ … +bc+ … )}$
が利用できそうです。右辺の2つめの $\textcolor{red}{( )}$の中の式が問題文にある「異なる2つの項の積の和」になっていることに気づきましたか。
そして、他の2つの( )の中の式がΣで表せる(計算できる)ため等式を変形することによって求めることができます。それでは解答例です

$(1+2+3+ …  +n)^2$
$=(1^2+2^2+3^2+ … +n^2)+2\{1・2+1・3+ … +2・3+ … +(n-1)・n\}$
より、求める式を$X$とおくと$\{\sum_{k=1}^n k\}^2=\sum_{k=1}^n k^2+2X$ と表せるから
$X=\frac{1}{2}\{\sum_{k=1}^n k\}^2-\sum_{k=1}^n k^2\}$
$ =\frac{1}{2}\{\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\}$
$ =\frac{n(n+1)}{24}\{3n(n+1)-2(2n+1)\}$
$ =\frac{n(n+1)}{24}(3n^2-n-2)$
$ =\frac{n(n+1)(3n+2)(n-1)}{24}$

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