今週の質問

伊勢市＊数学＊塾・予備校＊エムジェック＊塾長の真鍋です。漸化式を利用して確率を求める問題。

四面体OABCの頂点上に動点Pがあり、はじめ点Pは頂点Ｏにいる。１秒後に他の各頂点へ移動する確率はどれも\( \frac{1}{3} \)のとき、ｎ秒後に点Ｐが頂点Ａにいる確率\( Ｐ_{n} \)を求めよ。

漸化式をつくるために\( P_{n+1}\) と\( Ｐ_{ｎ} \)の関係を考えます。

点Ｐがｎ秒後に頂点Ａにいると（ｎ＋１）秒後に頂点Ａに移動できず、\( P_{n+1}\) を\( Ｐ_{n} \)で表すことができないので「あれっ」となります。

そこで気づいてほしいのが、（ｎ＋１）秒後にＡにいるためにはｎ秒後にＡ以外の点にいる必要があり、その確率は（１－\( Ｐ_{n} \)）で表すことができます。

また、Ａ以外のどの頂点からもＡへ移動する確率は\( \frac{1}{3} \)のため

\( P_{n+1}＝\frac{1}{3} ( １－Ｐ_{n} ) \)　の関係が成り立ちます。

漸化式を使って確率を求める問題で（１－\( Ｐ_{n} \) ）を使うことはよくありますから頭に入れておきましょう。