大きい数の素因数分解

伊勢市＊数学＊塾・予備校＊エムジェック＊塾長の真鍋です。夏休みは時間に余裕があるため高校の課題に難問・奇問が出されることもしばしば。
例えば

『 533333333を素因数分解しなさい』

どうすればよいか…　すぐには分かりづらいです。

素数の小さいほうから順番に割っていけば『いつか』は解けます。これも立派な解法ですが、非現実的というか工夫したいです。

大きい数を素因数分解したいとき、平方数の差を見つける方法があります。
もとの数が \(m^{2}-n^{2}\) になれば \((m+n)(m-n)\) に因数分解できることを利用します。

\(533333333\) の3倍が \(1599999999\) になることに気づけば

\(1599999999\)
\(=1600000000-1\)
\(=40000^{2}-1^{2}\)
\(=(40000-1)(40000+1)\)
\(=(200^{2}-1^{2})(200^{2}+2･200+1-20^{2})\)
\(=(200-1)(200+1)(201^{2}-20^{2})\)
\(=199･201･(201-20)(201+20)\)
\(=199･3･67･181･221\)
\(=199･3･67･181･(15^{2}-2^{2})\)
\(= 199･3･67･181･(15-2)(15+2)\)
\(= 199･3･67･181･13･17\)

よって　\(533333333= 13･17･67･181･199\)

面白い問題ですよね。