伊勢高校3年生からの質問。



『$sin3\theta =3sin\theta -4si{n}^3\theta$』の証明（変形）です。三倍角の公式として暗記している人もいると思いますが自力で変形できるようにしておきたい内容です。

まず $3\theta =2\theta +\theta$ として加法定理からスタートし、倍角の公式と $co{s}^2\theta =1-si{n}^2\theta$ を利用しながら $sin\theta$ に統一する方針で変形していきます。

$sin3\theta =sin(2\theta +\theta )$
$=sin2\theta cos\theta +cos2\theta sin\theta$
$=2sin\theta co{s}^2\theta +(1-2si{n}^2\theta )sin\theta$
$=2sin\theta (1-si{n}^2\theta )+sin\theta -2si{n}^3\theta$
$=2sin\theta -2si{n}^3\theta +sin\theta -2si{n}^3\theta$
$=3sin\theta -4si{n}^3\theta$

なお、『$cos3\theta =4co{s}^3\theta -3cos\theta$』も同様にして$cos\theta$に統一します。数Ⅱの三角関数の範囲で習う「倍角」「半角」「合成」といった公式は全て加法定理を使って容易に導き出せるので変形の仕方を確認しておきましょう。

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